（通讯员 张小斌）近日，我校数学与统计学院薄立军教授与香港理工大学应用数学系黄一杰博士后和余翔副教授合作，在最优跟踪投资组合问题上取得重要理论突破。该研究对诺贝尔经济学奖得主R.Merton在20世纪70年代提出的经典最优消费理论进行了重要扩展，提出并解决了松弛绩效跟踪下的最优消费问题,相关成果以“An Extended Merton Problem With Relaxed Benchmark Tracking”为题，发表于金融数学领域权威期刊《Mathematical Finance》。《Mathematical Finance》是数理金融领域重要的国际期刊，中国数学会T1期刊，该期刊聚焦数学和统计方法在金融问题中的前沿研究，2024年共发表22篇论文。

R.Merton于20世纪70年代提出的连续时间最优消费理论（即Merton问题）用数学模型系统描述了投资者如何在消费、风险资产与无风险资产之间进行动态配置，以实现期望消费效用最大化。然而在现实中，投资者-尤其是机构投资者-往往并非仅追求绝对效用最大化，而是同时关注其投资表现是否能够实时跟踪甚至超越某一市场基准（如股票指数等）。

本文研究了连续时间松弛绩效跟踪下的最优消费与投资组合问题。在该框架下，基金经理被允许通过自由注资的方式，确保其管理的资产始终不低于某一基准过程。该模型通过引入自由注资奇异控制和目标基准跟踪约束拓展了经典的Merton问题。基金经理需同时确定最优投资策略、最优消费策略以及最优注资策略，以最大化净效用（即消费效用减去注资成本效用）。为求解该带有动态约束的复杂混合随机控制问题，研究团队引入辅助的反射状态过程，将原问题转化为无约束正则随机控制问题。为了求解基于反射状态的随机控制问题，研究团队拓展了美国哥伦比亚大学数学系、概率学家I.Karatzas等人在1987年提出的基于 Black-Scholes 市场模型下的经典对偶方法，通过引入反射对偶过程成功发展了基于反射状态过程的对偶方法和理论。进一步，借助偏微分方程理论从而得到了随机控制问题的值函数与最优反馈控制策略,并证明了验证定理。

全文链接：

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/mafi.70015